מהן נקודות קיצון?
נקודות קיצון הן הנקודות הגבוהות והנמוכות ביותר של פונקציה. הם ידועים גם בתור מקסימום ומינימה מקומיים. הם חשובים בחקירת פונקציה מכיוון שהם יכולים לספר לנו הרבה על התנהגות הפונקציה. לדוגמה, אם לפונקציה יש מקסימום מקומי, סביר להניח שהפונקציה גדלה באזור זה. באופן דומה, אם לפונקציה יש מינימום מקומי, סביר להניח שהפונקציה הולכת ופוחתת באזור זה.
כיצד לקבוע נקודות קיצון
על מנת לקבוע נקודות קיצון, עלינו להסתכל על הנגזרת של הפונקציה. הנגזרת של פונקציה היא מדד לאופן שבו הפונקציה משתנה. אם הנגזרת של פונקציה חיובית, אז הפונקציה הולכת וגדלה. אם הנגזרת של פונקציה שלילית, אז הפונקציה הולכת ופוחתת. נוכל להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי לקבוע נקודות קיצון. אם הנגזרת של פונקציה היא אפס בנקודה מסוימת, אז הנקודה הזו היא נקודת קיצון. הסיבה לכך היא שהנגזרת היא אפס כאשר הפונקציה לא עולה ולא יורדת.
דוגמא
בואו נסתכל על דוגמה. שקול את הפונקציה f(x) = x 2 . הנגזרת של פונקציה זו היא f'(x) = 2x. אנו יכולים לראות שהנגזרת היא אפס כאשר x = 0. זה אומר שהנקודה (0, 0) היא נקודת קיצון של הפונקציה.
מה לעשות אם אין נקודות קיצון
אם אין נקודות קיצון בחקירה של פונקציה, אז זה אומר שהפונקציה גדלה או יורדת בכל מקום. זה אומר שהפונקציה היא קמורה או קעורה. פונקציות קמורות הן אלו שמתגברות בכל מקום. זה אומר שהפונקציה תמיד גדלה ולעולם לא יורדת. פונקציות קעורות הן אלו שהולכות ופוחתות בכל מקום. זה אומר שהפונקציה תמיד יורדת ולעולם לא עולה.
השוואה מהירה
| סוג הפונקציה | נגזר | נקודות קיצון |
|---|---|---|
| קָמוּר | חִיוּבִי | אף אחד |
| קָעוּר | שלילי | אף אחד |
שאלות ותשובות
מה ההבדל בין פונקציות קמורות לקעורות?
ההבדל העיקרי בין פונקציות קמורות לקעורות הוא שפונקציות קמורות תמיד גדלות, בעוד שפונקציות קעורות תמיד יורדות. המשמעות היא שלפונקציות קמורות אין נקודות קיצון, בעוד שלפונקציות קעורות אין נקודות קיצון.
מהי הנגזרת של פונקציה?
הנגזרת של פונקציה היא מדד לאופן שבו הפונקציה משתנה. זהו קצב השינוי של הפונקציה ביחס למשתנה נתון. ניתן להשתמש בנגזרת של פונקציה כדי לקבוע נקודות קיצון. אם הנגזרת של פונקציה היא אפס בנקודה מסוימת, אז הנקודה הזו היא נקודת קיצון.
